高等数学引言

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程序员离不开数学 ,高等数学的重要性不在于他的数学严谨,而是他有更细分的思维,供程序员思考。当初没好好学,是因为没能理解他的各种定义已经方法。这个文章来抛开数学,来讲解怎么去理解数学的方法。

一.函数和映射

高中数学讲映射,也讲函数。程序里面也用函数,也称方法。你还听说过算子?了不起。他们究竟是什么关系? 为什么这么多名字?

  1. 函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是实数R,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
  2. 函数要求每个值域都有相应的定义域与其对应,也就是说,值域这个集合不能有剩余元素,而映射可以有剩余。
  3. 程序中的函数, 与算子类似,为了解决某一个问题,而抽象出来的一种对应关系。而方法,更多的是在Java这样的语言中,供类所使用的。

二.如何理解数列的极限的定义

设 { Xn } 为实数数列 ,a 为一个定数.若对任给的正数 ε,总存在正整数N,(当n无限增大 Xn 无线接近于 a ) , 使得当 n > N 时 有

则称数列 { Xn } 收敛于 a,定数 a 称为数列 { Xn } 的 极限。

  • 当我读完这个定义是一头雾水的,就跟很多程序员一样,变量一下子定义太多,都不知道他是干什么用的,就知道a是极限,ε是啥,N 是啥 。
    这个满足的关系有什么用?后来题做多了,慢慢才能理解,都怪当初老师讲的不彻底。

  • ε 表示的是一个, 人为给定的标准值, 衡量当n无限增大时, 数列 与 他的极限a 的接近程度。

  • 也就是说,当 n 增大到 N 以后 ,数列接近 极限值 a 的 程度比给定的 ε 还要小,说明 a 就是他的极限了 。
  • 为什么这么说呢 ? 这是因为 ,这个标准值 ε 是任取的 , 也就是说有普遍性。
  • 只要你给我一个标准,我就会就会有一个 N 来满足这个条件。无论如何,都会在一个标准内 ,数列是与a接近的 。
  • 所以说为什么 ε 要大于 0 也就清楚了吧 , N 是 正整数 也理所当然 , 极限就是无限接近的那个值 。

三. 正确使用两个重要极限

要明白的是,这个是函数的极限,跟上一个问题,数列的极限还是有一点点不一样的。
首先,数列找的 N 要求时正整数 那是因为他是一个个的点,而函数相对而言是连续的。
再有,数列的x 趋向于无穷 ,但是函数就要复杂一点,他可以趋向于无穷大,无穷小,也可以趋向于某个定值。
更要注意一点,函数的左极限和有极限也是不一样的。这个慢慢来考虑他。

那么这两个重要极限就是入门的变化极限式子,虽说看他不是很复杂,但是由他们引出的式子确实千奇百怪

解决这些问题,当然,可以不用动脑。为什么我不喜欢学这些东西,千方百计套公式真的很烦。
但是学习,还得这样,运用三角函数的相关公式,套路出跟第一个重要极限相似的就行,要想分母配出与sin函数的参数一样的,就要不断地拆分,拼凑,乘一个数的同时除以一个数,保持数值不变的情况下,出现与公式相似的等式。

四. 导数与微分

我当时脑袋一片混乱,到底dx或者说dudv是什么东西?为什么有的地方可以消去,有的地方不可以?
首先,我想尝试说一下微积分发展的历史和数学思想,主要针对 y=f(x) 这样的一元函数。

我们见过的这些数学符号
△x : 差分
dx : 微分
f`(x) : 倒数

倒数是最先出现的。之前数学家已经在对曲线的切线进行研究,因为曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题。我们在曲线上取两点,连接起来,就称为曲线的割线。

割线可以反应曲线的平均变化率,也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降,上升了多少,但是并不精确。

有了切线之后我们进一步去定义导数

我们可以这样理解dxdy ,但是问题依然存在

所以就切线的定义而言,微积分的基础就是不牢固的。
我们先看一个例子,x平方 的导数是这样计算的

仔细看看运算过程,dx先是在第三行约分中被约掉,然后又在倒数第二行加法中被忽略。
就是说,先被当作了非0的量,又被当作了0,一会是0,一会又不是0 。
一边是看起来没有错的微积分,一边是有严重缺陷的无穷小量,这就是第二次数学危机。

总结一下刚刚说了什么
切线:通过无穷小量定义了切线
导数:导数就是切线的斜率
微分:微分是微小的增量,即无穷小量

后来 , 莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦,一直拼命想要修补,但是这个问题要等到200年后,19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。因为极限的描述并没有用到什么无穷小量。

用极限定义的倒数 , 此时,导数应该被看成一个整体

有了倒数 ,自然微分的定义也被重写

来看重要的一步

等式的右边有两部分构成 ,来看图

这才是dy的定义 :

假设
y = x
=>
dy = 1 △x
=>
dx = △x
=>

总结一下刚刚说了什么
导数:被定义为一个极限,其意义就是变化率
微分:是一个线性函数,其意义就是变化的具体数值
切线:有了导数之后就可以被确定下来了

微积分实际上被发明了两次,古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。
古典微积分的微分是无穷小量,极限微积分的微分是一个线性函数。
古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和,极限微积分的定积分是求黎曼和。
古典微积分的切线是可以画出来的,极限微积分的切线是算出来的。
古典微积分的建立过程很直观,极限微积分的建立过程更抽象。

古典微积分最大的好处就是很直观,不过也是因为太直观了,所以我们一直都无法忘记它带来的印象,也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解

五.拉格朗日定理与罗尔定理,柯西定理啥关系?

罗尔中值定理

    如果函数f(x)满足以下条件, 
    (1)在闭区间[a,b]上连续
    (2)在(a,b)内可导
    (3)f(a)=f(b),则至少存在一个ε ∈(a,b) 使
    f'(ε) = 0

拉格朗日中值定理

    如果函数f(x)满足以下条件,
    (1)在闭区间[a,b]上连续 
    (2)在(a,b)内可导
    (3)那么存在一点ε ∈(a,b) ,使等式 f'(ε)  =( f(b) - f(a) ) / (b - a)  成立

柯西中值定理

     如果函数f(x)与g(x)满足以下条件,
     (1)在闭区间[a,b]上连续
     (2)在(a,b)内可导
     (3)对任意 x∈(a,b)且 g'(x) ≠ 0  则在(a,b)内至少存在一点 ε, 
     使 f(b) - f(a) / g(b) - g(a)   =   f'(ε) / f'(ε)

先来讲讲三者都有的条件:在[a,b]连续,在(a,b)可导。这就不用说了 ,我们研究的是初等函数图像 ,为了更形象,我们选用位移时间图像来看看跑步的情况 .

罗尔首先提出 在往返跑时,一定有一 时间点 瞬时速度为0。那就是 ,在转向的瞬间 .

后来,拉格朗日又发现 ,等于0的 这个情况比较特殊. 其实,往返跑时,一定存在一点瞬时速度为0,而平均速度也为0. 也就是说 ,当f(a) = f(b)时 ,就是罗尔定理 。
往返跑时某时刻瞬时速度等于平均速度。也就是说 拉格朗日发现在跑步时,一定存在一个时间点,该点的瞬时速度等于平均速度

拉格朗日把研究模型改成百米跑 不同的速度通过相同的位移.

再后来 , 柯西将研究从一个人跑步拓展到了两个人跑步。他觉得,拉格朗日的定理也比较特殊 , 他使用了模型 定时跑
两个人同时出发,直线跑1分钟 。 如果跑的距离相同 ,那么他们必定有一点 , 瞬时速度是相同的 平均速度也是相同的.
如果距离不一样了,那么平均速度也就不一样了 ,那么瞬时速度会有怎么样的关系呢 ?
柯西证明了存在这样的点,使甲乙瞬时速度之比等于平均速度之比.也就是说,拉格朗日说的情况太特殊 , 当g(x) = x 才是拉格朗日的 。平均速度不同的情况下,也有一点,瞬时速度的比值等于平均速度的比值 “

六.怎么理解洛必达法则 ?

洛必达法则 是利用导数来计算具有不定型的极限 的方法。他规定 0 比 0 型 或者 ∞比∞ 型的求极限方法 .大大简化了极限运算.